Интегрированные сети ISDN


Справочные данные по математике



10.20 Справочные данные по математике


 

Прекрасна благодушная язвительность,

С которой в завихрениях истории

Хохочет бесноватая действительность

Над мудрым разумением теории

 

И. Губерман

Приводимые в данном разделе определения вляются "шпаргалкой" на случай, когда вы знаете предмет, но что-то забыли. Для первичного изучения математических основ рекомендую обратиться к серьезным монографиям и учебникам.

Условная вероятность.

В теории вероятностей характеристикой связи событий А и B служит условная вероятность P(А|B) события А при условии B, определяемая как P(А|B) =

,

где N(B) – число всех элементарных исходов w, возможных при условии наступления события B, а N(АB) – число тех из них, которые приводят к осуществлению события А.

Если событие B ведет к обязательному осуществлению А: b

, то P(A|B)=1, если же наступление B исключает возможность события А: A*B=0, то P(A|B)=0. Если событие А представляет собой объединение непересекающихся событий A1, A2,…: A =
, то P(A|B) =
.

Если имеется полная система несовместимых событий B =B1, B2,… т.е. такая система непересекающихся событий, одно из которых обязательно осуществляется, то вероятность события A (P(A)) выражается через условные вероятности P(A|B) следующим образом:


(формула полной вероятности).

Множества.

Множество – это совокупность некоторых элементов. Если элемент х входит в множество А, это записывается как x О A. Соотношения A1 Н A2 или A2 К A1 означает, что A1 содержится во множестве A2 (каждый элемент х множества A1 входит в множество A2; A1 является подмножеством A2).

Суммой или объединением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1 И A2, которое состоит из всех точек х, входящих хотя бы в одно из множеств A1 или A2.

Пересечением или произведением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1З A2, A1*A2 или A1A2, которое состоит из всех точек х, одновременно входящих и в A1 и в A2; пересечение

произвольного числа множеств Аa состоит из всех точек х, которые одновременно входят во все множества Аa.

Пустые множества обозначаются 0.
Множества, дополнительные к открытым множествам топологического пространства Х, называются замкнутыми.
Нормированное пространство Х называется гильбертовым, если определена числовая функция двух переменных х1 и х2, обозначаемая (x1,x2) и называемая скалярным произведением, обладающим следующими свойствами:

  1. (x,x)і 0;
  2. (x,x)=0 тогда и только тогда, когда х=0;
  3. (l 1x1+l2

    x2, x) = l 1(x1,x) + l 2(x2,x);

  4. (x, l 1x1+l2

    x2) = l1(x,x1) + l 2(x,x2)

при любых l1, l2 и x1, x2ОX. Норма ||x|| элемента гильбертова пространства Х определяется как ||x||=

.

Счетно-гильбертово пространство Х называется ядерным, если для любого р найдется такое q и такой ядерный оператор А в гильбертовом пространстве Х со скалярным произведением (х1,x2)=(х1,х2)q, что (х1,x2)p=(Ax1,x2)q.

Действительное число M является верхней границей или нижней границей множества Sy действительных чисел y, если для всех y О Sy соответственно y Ј M или yі M. Множество действительных или комплексных чисел ограничено (имеет абсолютную границу), если верхнюю границу имеет множество абсолютных величин этих чисел; в противном случае множество не ограничено. Каждое непустое множество Sy действительных чисел y, имеющее верхнюю границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup y, а каждое непустое множество действительных чисел y, имеющее нижнюю границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) inf y. Если множество Sy конечно, то его точная верхняя граница sup y необходимо равна наибольшему значению (максимуму) max y, фактически принимаемому числом y в Sy, а точная нижняя граница inf y равна минимуму min y.
Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Точка P множества называется внутренней для множества S, если P имеет окрестность, целиком содержащуюся в S.

Компакт. Система множеств G называется центрированной, если пересечение конечного числа любых множеств из G не пусто. Замкнутое множество A Н X называется компактом, если всякая центрированная система G его замкнутых подмножеств F имеет непустое пересечение:

Множество А называется компактным в Х, если его замыкание F=[A] является компактом.

Гауссовы случайные процессы.

Действительная случайная величина x называется гауссовой, если ее характеристическая функция j =j (u) имеет вид

;
фигурирующие здесь параметры a и s2 имеют простой вероятностный смысл: a=Mx (среднее значение), s2 = Dx (средне-квадратичное отклонение). Соответствующее распределение вероятностей также называется гауссовым, его плотность имеет вид

Марковские случайные процессы.

Случайный процесс x =x(t) на множестве T действительной прямой в фазовом пространстве (E,B) называется марковским, если условные вероятности P(A|U(-Ґ,s) событий AО U(t,Ґ ) относительно s-алгебры U(-Ґ,s) таковы, что при s Јt с вероятностью 1

,
здесь U(u,v) означает s-алгебру порождаемую всевозможными событиями вида { x(t) О B}, t О[u,v]З T, BО B. Если параметр t интерпретировать как время, то описанное марковское свойство случайного процесса x =x (t) состоит в том, что поведение процесса после момента t при фиксированном состоянии x=x (t) не зависит от поведения процесса до момента t. Для любых событий А ОU

(-Ґ,t1) и A2О U(t1, Ґ) и при любом t О T t1 ЈtЈ t2 с вероятностью 1

P(A1A2|x (t)) = P(A1|x (t)) P(A2|x(t)).

Цепи Маркова. Пусть x (t) - состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается следующая закономерность: если в данный момент времени s система находится в фазовом состоянии i, то в последующий момент времени t система будет находиться в состоянии j с некоторой вероятностью pij(s,t) независимо от поведения системы до указанного момента s. Описывающий поведение системы процесс x (t) называется цепью Маркова. Вероятности pij(s,t) = p{x (t)=j|x (s)=i} (i,j = 1, 2, …) называются переходными вероятностями марковской цепи x (t).

Марковская цепь x (t) называется однородной, если переходные вероятности pij(s,t) зависят лишь от разности t-s: pij(s,t) = pij(s-t) (i,j=1,2,…)

Финальные вероятности. Пусть состояния однородной марковской цепи x (t) образует один замкнутый положительный непериодический класс. Тогда для любого состояния j существует предел

 (j=1, 2,…), один и тот же при всех исходных состояниях i=1,2,…. Предельные значения P1, P2,… представляют собой распределение вероятностей: pj есть финальная вероятность находиться в состоянии j; при этом

Pj=

 (j=1,2,...),

где Qj – среднее время возвращения в состояние j в дискретные моменты t = 0, 1, 2, … .

Коэффициент эргодичности. Пусть x =x (t) – случайный марковский процесс в фазовом пространстве (E,B) с переходной функцией P(s,x,t,B). С вероятностью 1 имеет место равенство

b

(s,t) =

|P(A| U

(-?, s))- P(A| =

Величина k(s,t) = 1 -

называется коэффициентом эргодичности марковского процесса x =x (t).

Переходная функция. Функция P(s,x,t,B) переменных s, tО T, s Ј t и xО E, bО b называется переходной функцией марковского случайного процесса x =x (t) на множестве T в фазовом пространстве (E,B), если эта функция при фиксированных s, tО T и xО E представляет собой распределение вероятностей на s

-алгебре b и при фиксированных s, tО T и BО b является измеримой функцией от x О E.

Стационарные случайные процессы. Стационарный действительный или комплексный случайный процесс x =x (t), рассматриваемый как функция параметра t со значениями в гильбертовом пространстве L2(W) всех действительных или комплексных случайных величин h =h (w), M|h |2<Ґ (со скалярным произведением

(h 1, h2)= M h1

h2),
может быть представлен в виде

Белый шум. Простейшим по структуре стационарным процессом с дискретным временем является процесс z =z (t) с некоррелированными значениями:

Mz(t)=0, M|z(t)|2=1,

Mz(t1)

при t1 ? t2

В случае непрерывного времени t аналогом такого процесса является так называемый “белый шум” – обобщенный стационарный процесс z = б u, z с вида


(параметр u=u(t) есть бесконечно дифференцируемая функция), где стохастическая мера z = z (d ) такова, что

Mz (D )=0, M|z (D )|2

=t-s при D =(s,t), Mz (D1) z (D2)=0 для любых непересекающихся D1 и D2.

Стационарный процесс x= x(t), Mx(t)=0, называется линейно-регулярным, если

,

где H(s,t) – замкнутая линейная оболочка в пространстве L2(W) значений x(u), s Ј u Ј t. Стационарный процесс x =x(t) со спектральной мерой F является линейно-регулярным тогда и только тогда, когда F=F( D) абсолютно непрерывна:

F(D) =


а спектральная плотность f=f(l) удовлетворяет условию


(для дискретного t)


(для непрерывного t)

Стационарный процесс x =x(t) линейно-регулярен тогда и только тогда, когда он получается некоторым физически осуществимым линейным преобразованием из процесса z = z(t) с некоррелированными значениями – в случае дискретного t:

x(t) =

и из процесса z =б u, z с “белого шума” – в случае непрерывного t:

x(t) =

Регулярность. Реальные стационарные процессы часто возникают в результате некоторого случайного стационарного возмущения Z = z (t) типа “белого шума”. Процесс z = z(t) подвергается некоторому линейному преобразованию и превращается в стационарный процесс x =x(t). Спектральная плотность f= f(l) такого процесса в диапазоне -p Ј l Ј p для целочисленного времени и -Ґ <l <Ґ для непрерывного времени t не может обращаться тождественно в нуль ни на каком интервале: в противном случае стационарный процесс x (t) будет сингулярным, что означает возможность его восстановления лишь на полуоси -Ґ ,t0. Процессы, спектр которых практически сосредоточен в полосе частот –W< l <W, не обладают свойствами сингулярных процессов. С энергетической точки зрения эти процессы имеют ограниченный спектр. Составляющие их гармонические колебания вида Ф(dl )eilt с частотами вне интервала (-W,W) имеют весьма малые энергии, но они существенно влияют на линейный прогноз значений x (t+t) на основе x (s) на временной полуоси sЈt.

Линейные устройства, используемые при решении конкретных задач, должны иметь вполне определенную постоянную времени T (определяет длительность переходных процессов). Это означает, что весовая функция h=h(t) рассматриваемого линейного устройства, связанная с соответствующей передаточной функцией Y =Y(p) равенством


должна удовлетворять требованию h(t)=0 при t>T.
Рассмотрим задачу линейной фильтрации при наличии на входе процесса x =x(t). Тогда x (t)= z (t) +h(t), где h =h(t) – полезный сигнал, а z(t) – независимый от него стационарный случайный процесс (шум). Линейное устройство должно быть выбрано так, чтобы процесс на входе


был по возможности близок к входному полезному сигналу h = h(t), так что в стационарном режиме работы

Линейное устройство, отвечающее поставленным требованиям, должно иметь такую передаточную функцию Y=Y(p), чтобы соответствующая спектральная характеристика


являлась решением интегрального уравнения

Где


- спектральная плотность входного процесса x (t), а Bh h(t) – корреляционная функция полезного сигнала h (t).

Закон больших чисел. Пусть x1,…, xn – независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей, в частности одни и те же математические ожидания a = M

xk и дисперсии

s2=Dxk, k=1,…,n. Каковы бы ни были e >0 и d >0, при достаточно большом n арифметическое среднее

(таким образом
)

с вероятностью, не меньшей 1-d, будет отличаться от математического ожидания a лишь не более чем на

Распределение Эрланга

Рассмотрим систему, которая способна обслуживать m запросов одновременно. Предположим, что имеется m линий и очередной запрос поступает на одну из них, если хотя бы одна из них свободна. В противном случае поступивший запрос будет отвергнут. Поток запросов считается пуассоновским с параметром l0, а время обслуживания запроса (в каждом из каналов) распределено по показательному закону с параметром l, причем запросы обслуживаются независимо друг от друга. Рассмотрим состояния E0, E1,…,Em, где Ek означает, что занято k линий. В частности E0 означает, что система свободна, а Em – система полностью занята. Переход из одного состояния в другое представляет собой марковский процесс, для которого плотности перехода можно описать как:

При t ® Ґ переходные вероятности pij(t) экспоненциально стремятся к своим окончательным значениям Pj, j=0,…,m. Окончательные вероятности Pj могут быть найдены из системы:

-l0P0+lP1=0

l0Pk-1 – (l0+kl)Pk + (k+1)lPk+1 =0 (1Ј k<m)

l0pm-1+ml Pm=0

решение которой имеет вид:

Эти выражения для вероятностей называются формулами (распределением) Эрланга.




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин